Bạn nghĩ rằng kiến thức lượng giác như công thức nhân 3 là một trong những kiến thức khó nhai nhất khi đi học? Thật ra còn có những thứ khó hơn vậy rất nhiều lần nữa, đó chính những bài toán khó nhất thế giới được tạo nên bởi những nhà toán học lỗi lạc. Khi giải được chúng, bạn không chỉ nhận được sự tán dương, ngưỡng mộ mà còn có cơ hội “ẵm về” một khoản tiền rất lớn.
Truyền thống trả tiền cho giải thưởng toán học đã có từ rất sớm. Một trong những người nghĩ ra việc chi trả cho các định lí được chứng minh là nhà toán học huyền thoại Paul Erdős. Tuy nhiên, tấm séc 25 đô của ông mang tính chất chiến lợi phẩm hơn là giá trị tiền mặt của nó.
Truyền thống đó vẫn tiếp tục cho đến ngày nay. tuy nhiên, bạn nên nhớ rằng những bài toán được treo giải là những bài toán cực khó đã làm tiêu hao sức lực của biết bao thế hệ nhà toán học, và giải thưởng triệu đô yêu cầu đổ mồ hôi sôi nước mắt mới đạt được.
5.000 USD – Giả thiết Erdős về dãy số
Kể từ khi Erdős qua đời vào năm 1996, Ronald Graham là người thay ông để xác thực và trao phần thưởng cho bất kì ai giải được bài toán của Erdős.
Chúng ta có thể giành về 5.000 USD bằng cách chứng minh một trong những bài toán còn lại của Erdős, giả thiết Erdős về dãy số như sau:
Nếu tổng nghịch đảo của các phần tử của một tập hợp A (gồm các số nguyên dương) là phân kì, thì A có chứa những chuỗi số dài tùy ý có hiệu không đổi giữa các phần tử.
Cái bạn phải cần là một tập hợp A gồm các số nguyên dương. Bạn lấy nghịch đảo của những số đấy – với một vài x thì nghịch đảo của đây chính là 1/x – rồi bạn cộng chúng lại, và bạn thấy rằng chúng không bao giờ tiến về một con số nào đó, chúng cứ bắt đầu cộng đến vô cùng.
Vâng, giả thiết này phát biểu rằng nếu điều đó xảy ra, thì bạn sẽ để ý thấy A có chứa những chuỗi số với khoảng cách tùy ý giữa chúng.
Nếu như bạn chứng minh được thì cứ thông cáo với Graham, và tấm séc 5.000 USD có thể được gửi đến cho bạn. Tấm séc sẽ do Graham kí nếu chúng ta muốn nhận tiền mặt, hoặc do Erdős kí nếu bạn chỉ mong muốn giữ nó làm chiến lợi phẩm cho mình.
Khoảng 65.000 USD – Giải thưởng Huttler
Giải thưởng này, do Marcus Hutter tài trợ, Lựa chọn những phương pháp mới để nén dữ liệu. công việc là thông minh ra một thuật toán nén mới để thu về một file nén của một tệp 100 MB cho trước với dung lượng nhỏ hơn kỉ lục trước đó.
Nếu bạn có thể nén nó nhỏ hơn kỉ lục hiện nay – khoảng 16 MB – thì bạn nhận được một phần của số tiền trên. Cho đến nay, Alexander Ratushnya là người đã ba lần giành giải.
Bạn câu hỏi thắc mắc số tiền thưởng là gồm bao nhiêu ư? Thuật toán nén của bạn tiến bộ hơn kỉ lục trước đó bao nhiêu phần trăm thì tỷ lệ thì bạn sẽ nhận được bấy nhiêu phần trăm của số tiền 65,000 USD, với tối thiểu là 3%.
1.000.000 USD – Phương trình Navier-Stokes
Nó là một trong sáu bài toán thiên niên kỉ mà nếu giải được, bạn có thể rinh về giải thưởng là 1 triệu đô la.
Các phương trình Navier-Stokes giúp chúng ta hiểu và dự báo chuyển động của các dòng chất lưu về mặt toán học.
Một trong những phần khó nhất là con người không thật sự hiểu rõ các phương trình này. Các chất lưu này thường rất phức tạp tuy nhiên lại quan trọng với con người. Với các phương trình Navier-Stokes, ai đấy phải nghĩ ra được những ý tưởng mới để chúng ta có thể đi từ những phương trình vi phân riêng phần sơ bộ cực kì khó hiểu này đến chỗ hiểu hợp lý và đơn giản của phương trình.
Chúng ta phải có biết rằng có tồn tại “những nghiệm trơn, có nghĩa” cho các phương trình trên, theo lời của Chlarles L. Ferfferman. Bạn hãy mô tả chúng và giải thưởng triệu đô sẽ là của bạn.
1.000.000 USD – Giả thiết Riemann
Nó là một bài toán thiên niên kỉ khác. khi bạn nhìn vào các số nguyên tố lẫn trong các số tự nhiên, bạn không để ý thấy khuôn mẫu gì.
Mặc dù vậy, vào thế kỉ 19, nhà toán học G.F.B. Riemann đã thấy rằng số lần lặp lại của các số nguyên tố có liên lạc mật thiết với hành trạng của hàm Zeta Riemann:
ζ(s) = 1 + 1/2s+ 1/3s+ 1/4s+ …
Giả thiết Riemann là toàn bộ các nghiệm của phương trình ζ(s) = 0đều nằm ở trên một đường thẳng đứng. Với 1,5 tỉ nghiệm trước tiên, các nhà toán học đã kiểm tra và thấy rằng Riemann là đúng.
Nếu bạn chứng minh được giả thiết trên là đúng, thì hãy mở tiệc ăn mừng đi, bạn sẽ được đi nhận tấm séc 1 triệu đô.
1.000.000 USD – Chứng minh giả thiết Beale
Định lí cuối cùng của Fermat đã không được giải trong hàng trăm năm trời. Nó phát biểu rằng không có ba số nguyên dương a, b và c có thể thỏa mãn
ax+ bx= cx
Khi số nguyên x lớn hơn 2.
Khi nghiên cứu định lí cuối cùng của Fermat, nhà tỉ phú Andy Beal đã vướng phải một bài toán khác. Lúc ấy, ông đang dùng máy vi tính để thăm dò những phương trình tương tự với số mũ không giống nhau.
Giả thiết Beal như sau: nếu a, b, c, x, y và x đều là số nguyên dương và x, y, x đều lớn hơn 2 thì
ax+ by= cz
Chỉ thỏa mãn khi a, b và c có một thừa số nguyên tố chung.
Beal tìm thấy trong các tính toán trên máy của ông rằng phương trình chỉ có nghiệm khi a, b và c có một thừa số nguyên tố chung, nên ông đã liên lạc với giới hàn lâm để công nhận bài toán là mới, và cùng với Hội Toán học Mĩ thành lập một giải thưởng cung cấp cho ai chứng minh được giả thiết của ông.
Nếu như bạn chứng minh được giả thiết Beal và được Hội Toán học Mĩ thừa nhận và cho đăng tạp chí, thì bạn có thể rinh về 1 triệu đô la.
Ngoài những bài toán khó nhất thế giới mà chúng tôi đã liệt kê, còn có những bài toán thú vị khác như:
Bài toán 263 năm chưa tìm ra lời giải
Trong lĩnh vực Toán học, bài toán về các số nguyên tố ảnh hưởng đến giả thuyết Goldbach tam nguyên đã xuất hiện suốt 263 năm và vẫn chưa có ai thành công chứng minh nó. Bài toán này được nhà toán học Christian Goldbach đề xuất vào năm 1742 trong một bức thư gửi cho cộng sự tại Thụy Sỹ. Giả thuyết Goldbach tam nguyên nói rằng “Tất cả các số nguyên lớn hơn 2 đều có khả năng đo đạt thành tổng của 3 số nguyên tố.” VD, 35 có khả năng đo đạt thành tổng của 3 số nguyên tố 19 + 13 + 3 hoặc 77 có khả năng đo đạt thành tổng của 3 số nguyên tố 53 + 13 + 11. Suốt hơn 250 năm qua, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu giả thuyết này, tuy nhiên cho đến nay vẫn chưa tìm ra được đáp án chính xác.
Hiện tại, người tiếp cận gần nhất với bài toán này là nhà toán học Terence Tao tại trường đại học California, Los Angeles, Mỹ. Ông đã chứng minh rằng mỗi số lẻ có thể đo đạt tối đa thành tổng của 5 số nguyên tố và ông kỳ vọng có thể giảm số lượng này xuống còn 3 để hoàn toàn chứng minh giả thuyết Goldbach trong tương lai gần.
Bài toán “Ai giữ cá” tưởng chừng đơn giản tuy nhiên khiến không ít người phải chào thua trước Einstein
Đề bài toán của Albert Einstein được nói ra vào cuối thế kỉ XIX rất thú vị và yêu cầu năng lực suy luận. Bài toán đó là:
Có 5 ngôi nhà, mỗi ngôi nhà được sơn một màu không giống nhau.
Chủ nhân của mỗi ngôi nhà mang quốc tịch không giống nhau.
5 chủ nhân của ngôi nhà – mỗi cá nhân chỉ thích một loại nước uống, hút một hãng thuốc lá và nuôi một con vật nuôi riêng.
Yêu cầu: Hãy tìm ra thông tin về từng ngôi nhà (màu sắc, quốc tịch, loại nước uống, hãng thuốc lá và con vật nuôi) cho biết rằng không có hai ngôi nhà nào giống nhau về cả ba yếu tố: loại nước uống, hãng thuốc lá và con vật nuôi.
Bài toán siêu hóc búa chỉ 0,001% người giải được
Nó là một trong những bài toán khó nhất trên toàn cầu. Nó đã xuất hiện trong kỳ thi SAT năm 1982 và chỉ có 3 trong số 300.000 thí sinh nói ra đáp án đúng.
Bài toán yêu cầu: Bán kính của hình tròn B gấp 3 lần bán kính của hình tròn A. Khi hình tròn A lăn xung quanh hình tròn B, cần thực hiện bao nhiêu vòng quay để quay trở lại điểm xuất phát?
Có 5 giải pháp được nói ra là: 3/2, 3, 6, 9/2 và 9 vòng.
Nhiều người và hầu hết các thí sinh dự thi SAT năm đó đã chọn giải pháp số 3 là câu trả lời đúng.
Tuy nhiên, để giải quyết bài toán, ta cần coi xét hệ thống tọa độ. nếu như chọn hệ thuyết A là hệ thuyết chiếu trên vòng tròn A, thì hình tròn A chỉ tự quay quanh 3 vòng. nhưng nếu như hệ thuyết chiếu không nằm trên vòng tròn A, thì hình tròn A đã quay được 4 vòng, vòng thứ tư là vì hình tròn B tặng thêm.
Bài toán tìm sinh nhật của Cheryl, Singapore
Đề bài kể về câu chuyện của Albert, Bernard và Cheryl, một bài toán mà Cheryl nói ra về ngày sinh nhật của mình. Cheryl mang lại 10 tìm kiếm cho ngày sinh nhật của cô: Ngày 15/5, 16/5, 19/5, 17/6, 18/6, 14/7, 16/7, 14/8, 15/8 và 17/8. Sau đấy, Cheryl mách nhỏ tất cả thông tin tháng và ngày sinh của mình riêng tư cho Albert và Bernard.
Cuộc trò chuyện tiếp diễn như sau:
Albert: “Tôi không hề biết ngày sinh của Cheryl, tuy nhiên tôi biết Bernard cũng không hề biết.”
Bernard: “Ban đầu tôi không biết ngày sinh của Cheryl, tuy nhiên bây giờ tôi biết rồi.”
Albert: “Vậy thì tôi cũng đã biết ngày sinh nhật của Cheryl.”
Người ta hỏi ngày sinh của Cheryl là ngày nào? Bài toán này nổi bật hàng trăm người chọn lựa đáp án ngay sau khi Alex Bellos đăng nó lên The Guardian. Một bạn đọc có tên Colinus đã bày tỏ sự bất lực của mình trước bài toán này, khiến phần đông người tò mò.
Thật ra, đây chính là một câu hỏi trong cuộc thi Olympic Toán học châu Á năm 2015, nhằm kiểm tra khả năng suy luận của thí sinh thay vì chỉ kỹ năng tính toán.
Đáp án cho ngày sinh nhật của Cheryl là ngày 16/7 (16 tháng 7).
Bài toán tìm số áo của Mỹ
Đề bài kể về ba thành viên trong đội bóng nữ trường trung học Euclid đang nói chuyện với nhau. Họ đều nhắc về các số áo của họ:
1. Ashley: “Tôi vừa phát hiện ra số áo của chúng ta đều là những số nguyên tố có hai chữ số.”
2. Bethany: “Tổng hai số áo của các bạn chính là ngày sinh của tôi trong tháng này.”
3. Caitlin: “Vâng, thật vui, tổng hai số áo của các bạn lại chính là ngày sinh của tôi vào cuối tháng này.”
4. Ashley: “Và tổng số áo của các bạn cũng chính bằng ngày hôm nay.”
nhiệm vụ của bạn là tìm số áo mà Caitlin đang mặc (Caitlin’s jersey number).
Với việc các ngày được đề cập nằm trong cùng một tháng, con người có ngày sinh của Caitlin là khổng lồ nhất, tức là 30. Hôm nay là ngày 28 và ngày sinh của Bethany là 24. Từ đấy, ta có khả năng dễ dàng tìm được số áo của Ashley là 13, của Bethany là 17 và số áo của Caitlin là 11.
Vậy, Caitlin đang mặc áo số 11 (đáp án là A).
Bài toán về hiệp sĩ và kẻ nói dối, Nga
Bài toán này ảnh hưởng đến việc nắm rõ ràng số người ngồi ở vị trí chẵn trả lời “Đúng” dựa trên một số điều kiện về hiệp sĩ và kẻ lừa dối ngồi quanh một bàn tròn với 30 chiếc ghế.
Có tổng cộng 30 người, trong số đó có một vài là hiệp sĩ và một vài là kẻ lừa dối. Hiệp sĩ luôn nói thật, trong khi kẻ lừa dối luôn nói dối. mỗi cá nhân có một người bạn trong số những người khác và các mối quan hệ này thỏa mãn là bạn của hiệp sĩ là kẻ lừa dối và bạn của kẻ lừa dối là hiệp sĩ.
Các người ngồi trên vị trí lẻ đã trả lời “Đúng” cho câu hỏi “Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không?”. Ta có thể dễ dàng suy ra rằng trong 15 cặp bạn, mỗi cặp gồm một hiệp sĩ và một kẻ lừa dối. Vì điều đó, toàn bộ những người ở vị trí chẵn đều là kẻ lừa dối.
Theo quan sát quan trọng, nếu như trong 2 người là bạn của nhau, thì chỉ có một người nói “Đúng” cho câu hỏi “Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không?”. Trong trường hợp họ ngồi cạnh nhau, hiệp sĩ sẽ nói đúng và kẻ lừa dối nói “Không”. trái lại, nếu họ không ngồi cạnh nhau, hiệp sĩ sẽ nói “Không” và kẻ lừa dối nói “Đúng”.
Do có đúng 15 cặp bạn, ta có 15 câu trả lời “Đúng” từ những người ngồi ở vị trí lẻ. Từ đấy suy ra rằng tất cả những người ở vị trí chẵn đều sẽ nói “Không”. Và vì vậy, đáp số cuối cùng của bài toán là 0.
Tổng kết
Hi vọng qua bài viết vừa rồi, bạn đã có thêm nhiều kiến thức cho bản thân cũng như biết được thêm cơ hội trở thành triệu phú. Hẹn gặp lại bạn trong những bài viết sắp tới của Dạy Nghề May.
